Riassunto del blog

Questo sarà l'ultimo post del blog, che riassumerà tutti i precedenti. Come avrete sicuramente notato, ho parlato di quasi tutte le macchine utili per la matematica descrivendo sia strumenti analogici che digitali; per far ciò sono partita dalle macchine che servono per calcolare poiché senza queste le altre non esisterebbero.
Adesso, invece, vorrei fare un riepilogo cronologico della storia di questi strumenti matematici:
-4000 a.C.: i Sumeri utilizzano i "calculi", piccoli sassolini che permettevano di contare tramite i raggruppamenti e gli spostamenti di questi.
-2000 a.C.: in Cina si sviluppa l'abaco, una semplice tavola ricoperta di polvere o di sabbia e incisa con uno stilo o con le dita per annotare i risultati parziali dei calcoli e i numeri da ricordare; questo strumento è utilizzato anche dai Greci e dai Romani.
-1500 d.C. circa: Leonardo da Vinci inventa uno strano macchinario per effettuare calcoli con il sistema decimale, ma non funziona.
-1550 d.C. circa: Fabrizio Mordente costruisce il compasso "mordente", caratterizzato dalla presenza di cursori con punte ortogonali all'asse delle gambe.
-1597 d.C.: Galileo Galilei inventa il compasso "geometrico e militare", che ha sette linee proporzionali tracciate sulle gambe e quattro scale segnate sul quadrante che consentivano di effettuare operazioni aritmetiche e geometriche.
-1600 d.C. circa: Robert Dudley costruisce un compasso nautico munito di gambe piatte e di visori ed erano impiegati per compiere misurazioni durante la navigazione.
-1617 d.C.: John Napier inventa i "bastoncini" grazie a cui si ottiene la tabellina dei multipli di ogni numero.
-1620 d.C.: Edmund Gunter inventa il primo regolo calcolatore, dato da una scala logaritmica, dal posizionamento di numeri su un righello e dall'addizione di essi con l'aiuto di un compasso.
-1623 d.C.: Schickard costruisce l' "orologio calcolatore" che era in grado di eseguire somme e sottrazioni grazie ad un sistema di propagazione del riporto con una rotella ad un solo dente.
-1630 d.C.: Edmund Wingate costruisce un regolo calcolatore utilizzando due scale di Gunter, una di fronte all'altra, per eseguire direttamente  moltiplicazioni e divisioni, senza l'utilizzo del compasso.
-1632 d.C.:  William Oughtred  inventa il primo regolo circolare, tracciando due scale di Gunter su cerchi concentrici.
-1642 d.C.: Blaise Pascal inventa la "pascalina", una macchina con cui si poteva sommare e sottrarre e si segnava il riporto.
-1654 d.C.: Robert Bissaker costruì il "Gauging Rule", un regolo specializzato nel misurare il contenuto dei barili di vino, birra o liquori e nel calcolarne il carico fiscale.
-1671 d.C.: Leibniz costruisce la "stepped reckoner", una macchina a scatti con una manovella che permetteva anche di moltiplicare.
-1677 d.C.: Henry Coggeshall creò la "Carpenter's Slide Rule", un regolo che ha permesso di misurare e calcolare il volume e il peso dei carichi di legname.-1709 d.C.: Poleni costruisce una macchina aritmetica che attraverso il meccanismo del "traspositore a denti variabili" riusciva a fare le quattro operazioni elementari.
-1820 d.C.: Thomas de Colmar costruì l’ "aritmometro", un apparecchio portatile commercializzato in grado di eseguire le quattro operazioni, con risultati fino a 12 cifre.
-1823 d.C.: Charles Babbage inventa la "difference engine" che aveva lo scopo di creare tabelle di polinomi utilizzando un metodo numerico chiamato il "metodo delle differenze". Successivamente inventa la "analytical engine", una macchina programmabile per eseguire ogni genere di calcolo utilizzando un sistema di input e output.
-1859 d.C.: Amédée Mannheim costruisce il regolo moderno, migliorando le scale e introducendo il cursore mobile.
-1878 d.C.: George Fuller brevettò l' "Elica Calcolatoria" cilindrica, che servì per progettare dirigibili, aeroplani, ponti e grattacieli.
-1885 d.C.: William Seward Burroughs presentò domanda di brevetto per una macchina addizionatrice dotata della funzionalità di stampa.
-1886 d.C.: Frank Stephen Baldwin costruì una calcolatrice meccanica a tastiera estesa su cui era montato un carello mobile.-1887 d.C.: Felt costruisce il "Comptometer", la prima calcolatrice meccanica dotata di tastiera per l'immissione dei dati e la prima addizionatrice a pressione di tasti.
-1890 d.C.: Hollerith costruisce la "macchina tabulatrice", la prima utilizzata nel campo matematico della statistica e utilizzata dall’amministrazione degli Stati Uniti per sveltire i tempi di rilevazione statistica relativi al censimento della popolazione.
-1936 d.C.: Alan Turing inventa una macchina in grado di eseguire algoritmi e dotata di un nastro infinito su cui può leggere e/o scrivere dei simboli.
Nello stesso anno Zuse intraprese la progettazione e la costruzione dello Z1 che presentava una struttura già molto simile a quella dei moderni computer.
-1948 d.C.: Curt Herzstark costruisce la "curta", prima vera e propria calcolatrice meccanica portatile.

-1961 d.C.: fu lanciata sul mercato la prima calcolatrice totalmente elettronica da ufficio, il Bell Punch/Sumlock ANITA Mk.VII.

-1972 d.C.: vengono usate le prime calcolatrici scientifiche, formate da una fonte di energia elettrica, un display LCD, una memoria e una circuiteria elettronica.

Ora ho definitivamente terminato il lavoro e spero vivamente che questo blog abbia stuzzicato il vostro interesse e soddisfatto la vostra curiosità!

Il planimetro

Un altro strumento analogico utile per la matematica è il planimetro, che consente la misurazione dell'area di una figura piana disegnata in scala. Da un punto di vista concettuale lo si può pensare come un'applicazione delle formule di Green, che permettono di calcolare una funzione legata alla superficie (in questo caso l'area) valutando, lungo il contorno della superficie stessa, l'integrale curvilineo di una funzione collegata.
Era molto usato in tutte le applicazioni tecnico-scientifiche che richiedono la misurazione di un'area irregolare, dalla biomedicina all'ingegneria e alla topografia. Però, negli ultimi anni, il loro uso sta declinando e viene sempre più sostituito da tecniche di grafica computazionale applicata ad immagini digitalizzate.
I planimetri possono essere classificati in due grandi famiglie: quelli geometrici, ossia basati sulla scomposizione dell'area da misurare in una somma di figure semplici, e integratori, ossia strumenti che eseguono meccanicamente una integrazione lungo il contorno dell'area da misurare.

Adesso vediamo la storia di questo strumento.

Il primo planimetro fu quello ortogonale e sembra sia stato quello progettato da Johann Martin Hermann nel 1814 e costruito poi nel 1817. Di questo non sappiamo molto, ma si presuppone che sia molto simile a quello del fiorentino Tito Gonnella (1794-1867), che nel 1825 pubblicò la propria invenzione. Quest'ultima consente di calcolare un'area percorrendone il contorno con una punta mobile.

Il modello fu migliorato nel 1858 dallo svizzero Jakob Amsler-Laffon e venne chiamato planimetro polare ed è più preciso ed affidabile dei precedenti planimetri ortogonali.
Il planimetro polare viene poggiato sulla planimetria dalla quale si deve misurare l'area e lo strumento consiste in un braccio snodato con un'estremità che rimane appoggiata in posizione fissa sul foglio (polo) mentre l'altra estremità, avente una punta (non pungente, chiamata calcatoio o segnatoio) viene utilizzata dall'operatore per seguire tutto il contorno dell'area da misurare. Negli strumenti più recenti il calcatoio è sostituito da un puntatore munito di lente d'ingrandimento e il movimento del braccio aziona una rotellina graduata sulla quale sarà fatta la lettura che sarà proporzionale all'area calcolata.
Per la misurazione di aree più grandi, in particolare l'area sottostante al grafico di una curva, sono stati prodotti planimetri in grado di scorrere lungo una guida o montati su un carrello.

L'ultimo modello è il planimetro a scure, inventato in Danimarca nel 1875 dal capitano Holger Prytz ed è il planimetro costruttivamente più semplice e più economico e di semplice manutenzione. È costituito da una barra metallica piegata ad U con un'estremità appuntita (detta calcatoio) e l'altra a forma di scure. Spostando il calcatoio lungo il tracciato della curva che delimita l'area da misurare, anche la scure si sposta sulla superficie del foglio; questo movimento è solo apparentemente casuale, in quanto la sua forma controlla gli spostamenti laterali. Al termine dell'operazione si misura la distanza tra le posizioni iniziale e finale del centro della scure e questa, moltiplicata per la lunghezza dello strumento, dà una buona approssimazione dell'area della curva. L'approssimazione può essere migliorata ripetendo la misurazione in condizioni diverse (ad esempio invertendo il verso di percorrenza della curva o cambiando la posizione del planimetro) e poi eseguendo una media. 

Immagini dei regoli

Ora vi mostrerò alcune immagini dei vari tipi di regoli.


Particolare di un regolo di Gunter, ca. 1790




Regolo fiscale Everard, ca. 1780




Carpenter's Rule, ca. 1850




Brewer's Rule, ca. 1820




Charpentier, ca. 1880, uno dei primi regoli generici





Uno dei primi cursori, Tavernier-Gravet, fine '800

Cursore del Faber Castell, ca. 1930




Cursore standard per il Nestler 23, il preferito a Einstein, ca. 1930



Fronte e retro di un regolo circolare Fowler, ca. 1910





Regolo cilindrico Fuller, 1921





Scala specifica per numeri complessi, ca. 1952





Regolo in esadecimale per programmatore di computer.

Il regolo calcolatore

Il regolo calcolatore è uno strumento di calcolo analogico, che sfrutta le proprietà dei logaritmi, riconducendo operazioni più complesse (prodotti, quozienti, esponenziali) ad operazioni più semplici sui logaritmi dei rispettivi operandi. Queste vengono eseguite graficamente, spostando una o più asticelle graduate con scala logaritmica.
Questo strumento si compone di tre parti: un corpo su cui si trovano delle scale fisse, un'asta scorrevole con delle scale mobili, alcune davanti, altre dietro e un cursore con una o più linee di riferimento. Adesso vediamo le sue origini!
Come ho già detto in un post precedente, nel 1617 John Napier rivoluzionò la matematica scoprendo i logaritmi e costruendo il primo strumento di calcolo, i famosi "bastoncini": è proprio in base a questi che si sviluppa il regolo calcolatore. Infatti, con logaritmi e bastoncini non si lavora rapidamente e nel 1620 Edmund Gunter, per sveltire i procedimenti, disegnò la scala logaritmica posizionando i numeri su di un righello ad una distanza dall'origine proporzionale al valore del loro logaritmo; invece di cercare i logaritmi nelle tavole basta addizionarli con l'aiuto di un compasso.
Nel 1630 Edmund Wingate utilizza due scale di Gunter, una di fronte all'altra, per eseguire direttamente  moltiplicazioni e divisioni, senza l'utilizzo del compasso.

Due anni dopo, William Oughtred traccia due scale di Gunter su cerchi concentrici, inventando così il primo regolo circolare.

Nel 1654 Robert Bissaker marcò le scale su righelli scorrevoli centrali, fino a quattro, per velocizzare i calcoli; questo regolo venne chiamato Gauging Rule ed era specializzato nel misurare il contenuto dei barili di vino, birra o liquori e nel calcolarne il carico fiscale; subito migliorato da Thomas Everard venne poi commercializzato per oltre 2 secoli. Poco dopo Isaac Newton vi aggiunse una scala che permetteva di risolvere le equazioni cubiche.
Nel 1677 Henry Coggeshall creò la Carpenter's Slide Rule, montata su due righelli di legno con la gradazione in pollici, la scala centrale scorrevole in bronzo e diverse altre scale per la risoluzione di vari problemi. E' uno strumento combinato che ha permesso di misurare e calcolare anche alla gente comune il volume e il peso dei carichi di legname ed era molto usato nei cantieri navali e nelle carpenterie.
Verso metà '800 divenne però pressante l'esigenza di strumenti di calcolo non solo specializzati nell' uso fiscale o marittimo e, indispensabili per la progettazione delle macchine a vapore e lo sviluppo delle ferrovie, cominciarono ad apparire i primi regoli per uso generico, armi segrete della rivoluzione industriale. 

Nel 1859 il tenente di artiglieria francese Amédée Mannheim migliorò le scale introducendo il cursore mobile: era nato il regolo moderno, subito introdotto in Italia da Quintino Sella.
Nel 1878 George Fuller brevettò una precisissima "Elica Calcolatoria" cilindrica, con ben 13 metri di scala, che servì per progettare dirigibili, aeroplani, ponti e grattacieli. Sono tutte costruzioni solidissime: il ponte di Brooklin e il Golden Gate rimangono ben saldi al loro posto e l'Empire State Building resistette all'impatto di un aereo che ne investì il 79° piano nel 1945.
Attorno al 1920 il regolo aveva assunto la sua forma definitiva: Einstein lo utilizzò per elaborare la teoria della relatività, Marconi per la radio, Fermi per la bomba atomica, Korolev per il programma Sputnik e Von Braun per i motori del Saturno V, il vettore lunare. Al fine di migliorarne la precisione, proporzionale alla lunghezza delle scale, si produssero modelli circolari anche di grandi dimensioni.
I primi elaboratori elettronici apparvero verso il 1946 ma erano giganteschi e costosissimi; la stessa IBM pensava di venderne al massimo quattro l'anno, ed i regoli sembravano insostituibili. Non si immaginava un mondo senza di essi: servivano alle massaie in cucina, tracciavano le rotte sull'astronave di "Star Trek", apparvero sulla copertina di Playboy, vennero proposti in forma di gemelli e fermacravatta. Ne esistevano di tutti i tipi, la Walt Disney aveva un modello semplificato per i bambini, fu costruito in Braille per i non vedenti, con scale dedicate alla risoluzione di problemi statistici, ed anche in base esadecimale, ottale o binaria per i programmatori di computer.
Nel 1969, dopo essere stato indispensabile nella progettazione dei vettori spaziali, il regolo venne infine utilizzato sull'Apollo 11 sbarcando sulla luna.
Per rispondere alle nuove esigenze di calcolo furono disegnati regoli sempre più complessi e in Unione Sovietica ne venne costruito uno, elettromeccanico, di ben 14 metri di lunghezza. Realizzato nelle officine Kalashnikov gli fu dato il nome del mostro biblico Behemoth, davvero appropriato per un simile gigante.
Il 1 febbraio del 1972 la Helwett Packard mise in vendita la prima calcolatrice scientifica economica, 50 volte più piccola delle concorrenti e tanto moderna da essere ancora in commercio; le funzionalità della nuova HP-35 erano irrinunciabili e i calcolatori analogici scomparvero definitivamente dal mercato.

Il compasso di Galileo

Nel corso del Rinascimento furono molti i tentativi di elaborare uno strumento universale che permettesse di eseguire agilmente calcoli aritmetici e operazioni geometriche; l’esigenza era sentita soprattutto in campo militare dove la tecnologia delle armi da fuoco richiedeva sempre più precise cognizioni matematiche. A queste esigenze rispondono i primi compassi di proporzione, messi a punto nella seconda metà del XVI secolo, e il compasso geometrico e militare di Galileo appartiene a questa categoria di strumenti. Fu inventato a Padova nel 1597, ha sette linee proporzionali tracciate sulle gambe e quattro scale segnate sul quadrante, che consentivano di effettuare con estrema facilità ogni sorta di operazione aritmetica e geometrica: dal calcolo degli interessi all’estrazione delle radici quadrate e cubiche, dal disegno dei poligoni al calcolo di aree e volumi, dalla misura dei calibri al rilevamento del territorio. 

Il successo dello strumento spinse Galileo a divulgare la sua invenzione e nel 1606 pubblicò 60 copie de "Le operazioni del compasso geometrico e militare", vendendole privatamente insieme ad altrettanti esemplari dello strumento. La pubblicazione del trattato suscitò subito grande interesse, tanto da provocare un’aspra polemica nel mondo accademico sulla paternità dell’invenzione; già nel 1607 Baldassarre Capra, uno degli studenti di Galileo, tentò di accreditarsi l’invenzione dello strumento negli ambienti più colti, pubblicando un trattato in latino sulle sue operazioni. 

Numerose varianti furono elaborate per tutto il XVII e XVIII secolo, mentre nel corso del XIX secolo, il compasso di proporzione fu gradualmente sostituito dalla diffusione di raffinatissimi regoli calcolatori

che sopravvissero negli studi tecnici degli ingegneri, degli architetti e dei geometri fino al recente avvento del computer.

Il compasso

Un altro strumento utile nella matematica è il compasso: questo è costituito da due aste di uguale lunghezza collegate fra loro a cerniera, in modo da poter assumere un'inclinazione relativa a piacere. Il compasso, nelle sue diverse configurazioni, consente di realizzare diversi tipi di operazioni: dal disegno al calcolo delle proporzioni, dalla misura dei calibri alla determinazione della posizione in mare.

Ci sono vari tipi di compassi e i principali sono:

- Compasso di divisione.

E' a punte fisse ed utilizzato nel disegno architettonico e nei cantieri di costruzione per riportare le misure e dividere le linee in parti uguali. Può essere semplice o munito di vite micrometrica per una maggiore precisione nell'apertura delle gambe.

- Compasso di riduzione.

E' a gambe incrociate, con centro fisso o mobile, e le punte opposte formano rapporti semplici di 1:2, 1:3 o altro. Lo strumento serve essenzialmente a riprodurre i disegni in scala ridotta o ingrandita.

-Compasso da carteggio nautico.

Il tipo più semplice di compasso nautico è costituito da un compasso a punte fisse, manovrabile con una sola mano, per calcolare rotte e distanze in mare sulle carte durante la navigazione.

I compassi nautici di Robert Dudley (1573-1649), che fu a lungo al servizio dei Medici e sovrintese alle fortificazioni del porto di Livorno, presentano una struttura più complessa: infatti, sono muniti di gambe piatte e di visori ed erano impiegati per compiere diversi tipi di misurazioni durante la navigazione.

-Compasso sferico o di calibro.

Formato da due gambe curve terminanti a punta, questo compasso è destinato a misurare i diametri dei corpi sferici e cilindrici (compasso di spessore) e l'ampiezza delle cavità (compasso di calibro). Nella pratica militare è usato per misurare i calibri delle artiglierie e i diametri dei proiettili. In architettura consente il rilievo e l'esecuzione delle colonne. Nella pratica scultorea, inoltre, serve a riportare le misure dal modello sul pezzo in esecuzione. Il compasso sferico è spesso munito di un arco graduato che consente di leggere direttamente la misura.

-Compasso a tre gambe.

Il compasso a tre gambe è detto anche compasso sferico o da mappamondo e serviva a trasferire su una carta le posizioni dei luoghi rilevate su un mappamondo, misurando la distanza di tre punti. Serviva anche a riprodurre un disegno o una carta geografica nella stessa scala.

-Compasso topografico.

Questo strumento è formato generalmente da due gambe piatte graduate, munite di traguardi alle estremità e di una bussola con scala dei gradi nel punto di cerniera. Era stato concepito per misurare gli angoli di posizione e le distanze dei luoghi nei rilevamenti topografici. Talvolta, come nel caso dell'archimetro, il compasso era dotato di un braccio trasversale incernierato ad un cursore scorrevole lungo una delle gambe; questo accessorio consentiva di misurare anche la distanza tra due luoghi lontani.

-Compasso tipo Mordente.

E' un particolare compasso di proporzione a otto punte, inventato da Fabrizio Mordente (1532-c. 1608), caratterizzato dalla presenza di cursori con punte ortogonali all'asse delle gambe. La posizione delle punte, misurata con l'ausilio di una riga munita di scale proporzionali, permetteva di definire le proporzioni tra linee, figure geometriche e corpi solidi. Il compasso era anche usato come strumento topografico.

-Compasso di proporzione.

Compasso caratterizzato dalla presenza sulle gambe di varie scale proporzionali che servono a definire le proporzioni tra linee, figure geometriche, corpi solidi o altro. Può essere del tipo a gambe incrociate, simile al compasso di riduzione, secondo il modello elaborato da Federico Commandino (1509-1575) e Jost Bürgi (1552-1632); del tipo a cursori, secondo il modello inventato da Fabrizio Mordente (1532-c. 1608); o del tipo a gambe piatte, secondo la tipologia perfezionata da Galileo (1564-1642) con il suo compasso geometrico e militare.

La calcolatrice moderna scientifica

Finalmente si arriva alla classica calcolatrice scientifica moderna! Questa calcolatrice, utilizzabile per comuni attività, è costituita dai seguenti componenti: una fonte di energia elettrica (come una batteria o un piccolo pannello fotovoltaico), un display LCD solitamente in grado di visualizzare da 8 a 12 cifre, una memoria a numero singolo e una circuiteria elettronica. Hanno anche un tastierino comprendente: le dieci cifre da 0 a 9, un separatore decimale, il segno di uguale, le quattro funzioni aritmetiche, un pulsante di cancellazione e quelli di accensione e spegnimento (o un interruttore) e altre funzioni di base.
Le calcolatrici scientifiche hanno numerose funzioni aggiuntive rispetto a quelle comuni, di utilità in varie discipline scientifiche come matematica, fisica e ingegneria, con la possibilità di eseguire calcoli di statistica tramite particolari modalità operative. Le calcolatrici scientifiche più avanzate hanno funzioni per il disegno di grafici (vengono chiamate quindi calcolatrici grafiche) ed includono caratteristiche proprie di un sistema di algebra computazionale; molti di questi modelli sono in grado di eseguire anche semplici programmi (in tal caso vengono chiamate calcolatrici programmabili). Questi modelli permettono anche il collegamento ad un computer o ad altre calcolatrici dello stesso tipo per il trasferimento di dati. Una funzionalità propria di questo tipo di calcolatrice è la possibilità di operare su frazioni oltre che su numeri decimali. Inoltre, è possibile operare sugli angoli in gradi sessagesimali o centesimali e radianti, con la possibilità di eseguire le rispettive conversioni, ed effettuare il calcolo di funzioni esponenziale, logaritmiche e trigonometriche.
Anche questa calcolatrice, però, ha dei problemi: infatti, tranne quando si lavora con numeri interi o con razionali aventi un numero di cifre significative minore della capacità della macchina, il numero verrà troncato in memoria. Inoltre la maggior parte delle calcolatrici eseguono le operazioni nell'ordine in cui vengono immesse, ignorando le regole di precedenza matematiche. Ad esempio, se eseguiamo un'operazione come 2+4×2 su una normale calcolatrice, verrebbe eseguita prima l'addizione e poi la moltiplicazione e il risultato 12 sarebbe un errore visto che la cifra esatta è 10. Un ulteriore problema sorge dalla scarsa qualità delle tastiere in alcuni prodotti economici che potrebbero non rispondere adeguatamente alla pressione dei tasti.